গণিতের কিছু শর্ট টেকনিক যা পরীক্ষায় আসবেই – পর্বঃ০২

টেকনিক-১:উভয় বিষয়ে ফেলের হার উল্লেখ থাকলে উভয় বিষয়ে পাশের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
শর্ট টেকনিকঃপাশের হার=
১০০-( ১ম বিষয়ে ফেলের হার + ২য় বিষয়ে ফেলের হার- উভয় বিষয়ে ফেলের হার )
‪উদাহরন-১
কোন পরিক্ষায় ২০% পরিক্ষার্থী গনিতে ৩০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ফেল করলো উভয় বিষয়ে ১৩ % পরিক্ষার্থী ফেল করলে শতকরা কত জন পরিক্ষার্থী পাশ করলো? (প্রাথমিক সঃশি নিয়োগ (ইছামতি)পরীক্ষা-২০১০)
উত্তরঃপাশের হার(?)=১০০-[১ম বিষয়ে ফেলের হার(২০)+২য় বিষয়ে ফেলের হার(৩০)- উভয় বিষয়ে ফেলের হার(১৩)] =১০০-(২০+৩০-১৩)
=৬৩%(উঃ)
উদাহরন-২
কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অংকে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭ % পরিক্ষার্থী ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাশ করে? (প্রাথমিক সঃশি(খুলনা)পরীক্ষা-২০০৬)
উত্তরঃ
=১০০-(৫২+৪০-২৭)
=৩৫%(উঃ)
টেকনিক ২:উভয় বিষয়ে পাশের হার উল্লেখ থাকলে উভয় বিষয়ে ফেলের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
‪#‎শর্ট_টেকনিকঃফেলের হার=১০০-( ১ম বিষয়ে পাশের হার + ২য় বিষয়ে পাশের হার- উভয় বিষয়ে পাশের হার )
(১ম টির উল্টো নিয়ম)
উদাহরন-১
কোন পরিক্ষায় ৮০% পরিক্ষার্থী গনিতে ৭০% পরিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করলো। উভয় বিষয়ে পাশ করলো ৬০% পরিক্ষার্থী।উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো? (২২তম বিসিএস, উপজেলা শিক্ষা অফিসার-২০০৬,অর্থমন্ত্রনালয় ২০১১, ৬ষ্ঠ সহকারী জর্জ নিঃ ২০১১)
উত্তরঃ ফেলের হার(?)=১০০-[১ম বিষয়ে পাশের হার(৮০)+২য় বিষয়ে পাশের হার(৭০)- উভয় বিষয়ে পাশের হার(৬০)]
উদাহরন ২
কোন পরিক্ষায় ২০০জনের মধ্যে ৭০% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৬০% ছাত্র অংকে পাশ করে করে। এবং ৪০% উভয় বিষয়ে পাশ করে। তবে উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো? (সঞ্চয় অধিদপ্ত্রর,সঃ পরিচালক, পরীক্ষা-২০০৬)
উত্তরঃ
=১০০-(৭০+৬০-৪০)
=১০%
সুতরাং উভয় বিষয়ে ফেল=২০০ এর ১০%=২০%(উঃ)
টেকনিক ৩: উভয় বিষয়ে ফেল এবং পাশের উল্লেখ থাকলে মোট পরিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণ্যয়ের ক্ষেত্রে-
শর্ট টেকনিকঃ
মোট পরিক্ষার্থী=
উভয় বিষয়ে পাসকৃত ছাত্র ÷ (১ম বিষয়ে ফেল+২য় বিষয়ে ফেল+উভয় বিষয়ে ফেল) x ১০০
উদাহরন
কোন স্কুলে ৭০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ৮০% পরিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করলো।কিন্তু ১০% পরিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করলো।উভয় বিষয়ে
শতকরা কত জন ফেল করলো। যদি উভয় বিষয়ে ৩৬০ জন পরিক্ষার্থী পাশ করে তবে ঐ স্কুলে কত জন পরিক্ষার্থী পরিক্ষা দিয়েছে? (২৩তম বিসিএস)
উত্তরঃ মোট পরিক্ষার্থী=
উভয় বিষয়ে পাসকৃত ছাত্র(৩৬০)÷ {১ম বিষয়ে ফেল(১০০-৭০=৩০)+২য় বিষয়ে ফেল (১০০-৮০=২০)+উভয় বিষয়ে ফেল১০} x ১০০
=৩৬০ ÷ ৩০+২০+১০ x ১০০
=৬০০(উঃ)

বয়স সম্পর্কিত সমস্যা সমাধান

1) পিতা পুত্রের চেয়ে ৩২ বছরের বড়। ৭ বছর
পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ২ গুণ অপেক্ষা ৫
বছর বেশি হবে। ৩ বছর পর পিতার বয়স কত হবে?

.
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স= ক বছর।
পিতার বর্তমান বয়স= (ক+৩২) বছর।
৭ বছর পর পুত্রের বয়স= (ক+৭) বছর।
৭ বছর পর পিতার বয়স= (ক+৩২)+৭ বছর= (ক+৩২+৭)
বছর= (ক+৩৯) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক+৩৯= ২(ক+৭)+৫
বা, ক+৩৯= ২ক+১৪+৫
বা, ক-২ক= ১৯-৩৯
বা, -ক= -২০
বা, ক= ২০
ক = ২০
পিতার বর্তমান বয়স= (ক+৩২) বছর=(২০+৩২) বছর= ৫২
বছর।
৩ বছর পর পিতার বয়স=(৫২+৩) বছর= ৫৫ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৫৫ বছর।

2) দুই বছর আগে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের ১৪
গুণ। দুই বছর বাদে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের
চেয়ে ২৬ বছর বেশি হয়, তবে বাবা ও তার পুত্রে
বয়সের অনুপাত কত হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বয়স= ক বছর।

বাবার বয়স= (ক + ২৬) বছর।
প্রশ্নমতে,
১৪ (ক-২) = ক + ২৬ -২
বা, ১৪ক – ২৮ = ক + ২৪
বা, ১৪ক – ক = ২৪ + ২৮
বা, ১৩ক = ৫২
বা, ক = ৫২÷১৩
বা, ক = ৪
ক = ৪
পুত্রের বয়স= ক বছর= ৪ বছর।
বাবার বয়স= (ক + ২৬) বছর= (৪ + ২৬) বছর= ৩০
বছর।
নির্ণেয় বাবার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত= ৩০ : ৪ =
১৫ : ২
উত্তর: বাবার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১৫ : ২

3) পিতার ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর;
যখন পুত্রের বয়স পিতার বর্তমান বয়সের সমান হবে
তখন তাদের বয়সের সমষ্টি হবে ১০২ বছর। পিতার
ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স= ক বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= খ বছর।
যখন পুত্রের বয়স ক হবে তখন পিতার বয়স হবে=
{ক+(ক-খ)} বছর।
১ম শর্তমতে,
ক+খ=৫০……………………(১)
২য় শর্তমতে,
ক + {ক+ (ক-খ)} = ১০২
বা, ক+ক+ক-খ= ১০২
বা, ৩ক-খ= ১০২
৩ক-খ= ১০২………………….(২)
(১) নং ও (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই-
ক + খ = ৫০
৩ক –খ = ১০২
_______________________________
৪ক = ১৫২
বা, ক= ১৫২÷৪

ক= ৩৮
(১) নং সমীকরণে ক এর মান বসিয়ে পাই-
ক+খ= ৫০
বা, ৩৮+খ= ৫০
বা, খ= ৫০-৩৮
বা, খ= ১২
খ = ১২
নির্ণেয় পিতার বয়স= ক বছর= ৩৮ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= খ বছর= ১২ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৩৮ বছর ও পুত্রের বয়স ১২
বছর।

4) পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। আবার
পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। মাতার বয়স
কত?
সমাধানঃ
পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩৭×৩) বছর=
১১১ বছর।
পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩৫×২) বছর= ৭০
বছর।
নির্ণেয় মাতার বয়স= (১১১-৭০) বছর= ৪১ বছর।
উত্তর: মাতার বয়স ৪১ বছর।

5) পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৭ বছর। দুই
সন্তানের বয়সের গড় ২০ বছর হলে পিতার বয়স
কত?
সমাধানঃ
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (২৭×৩) বছর=
৮১ বছর।
দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (২০×২) বছর= ৪০
বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৮১-৪০) বছর= ৪১ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪১ বছর।

6) পিতা ও দুই পুত্রের গড় ৩০ বছর। দুই পুত্রের
বয়সের গড় ২০ বছর হলে, পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩০×৩) বছর=
৯০ বছর।
দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (২০×২) বছর= ৪০
বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৯০-৪০) বছর= ৫০ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৫০ বছর।

7) পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। আবার পিতা, মাতা
ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুত্রের
বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩৬×৩)
বছর= ১০৮ বছর।
পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি= (৪৫×২) বছর= ৯০ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= (১০৮-৯০) বছর= ১৮ বছর।
উত্তর: পুত্রের বয়স ১৮ বছর।

8) পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। মাতার
বয়স পুত্রের বয়স অপেক্ষা ২০ বছর বেশি। পিতা ও
মাতার গড় বয়স কত?
সমাধানঃ
মাতার বয়স যেহেতু পুত্রের বয়স অপেক্ষা ২০
বছর বেশি।
সুতারাং পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি= (৬০+২০) বছর= ৮০
বছর।
পিতা ও মাতার বয়সের গড়= = = ৪০ বছর।
নির্নেয় পিতা ও মাতার গড় বয়স= ৪০ বছর।
উত্তর: পিতা ও মাতার গড় বয়স ৪০ বছর।

9) পাঁচ সন্তানের বয়সের গড় ৭ বছর এবং পিতাসহ
তাদের বয়সের গড় ১৩ বছর। পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
৫ সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (৭×৫) বছর= ৩৫ বছর।
পিতাসহ পাঁচ সন্তান বা ৬ জনের বয়সের সমষ্টি=
(১৩×৬) বছর= ৭৮ বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৭৮-৩৫)=৪৩ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪৩ বছর।

10) ৫ জন বালকের বয়সের গড় ১০ বছর। ঐ গলে
আরও দুজন বালক যোগ দিলে তাদের সকলের
বয়সের গড় হয় ১২ বছর। যোগদানকারী বালক দুটি
যদি সমবয়সী হয় তবে তাদের প্রত্যেকের বয়স
কত?
সমাধানঃ

৫ জন বালকের বয়সের সমষ্টি= (১০×৫) বছর= ৫০
বছর।
(৫+২) বা ৭ জন বালকের বয়সের সমষ্টি= (১২×৭)
বছর= ৮৪ বছর।
যোগদানকারী বালকের বয়সের সমষ্টি= (৮৪-৫০)
বছর= ৩৪ বছর।
যোগদানকারী প্রত্যেক বালকের বয়স= বছর=
১৭ বছর।
উত্তর: প্রত্যেক বালকের বয়স ১৭ বছর।

11) পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স একত্রে ৮০ বছর।
৪ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৫ গুণ
ছিল। তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত কত?
সমাধানঃ
৪ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= ক বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= (ক+৪) বছর।
৪ বছর পূর্বে পিতার বয়স= ৫ক বছর।
পিতার বর্তমান বয়স= (৫ক+৪) বছর।
প্রশ্নমতে,
(ক+৪)+(৫ক+৪)=৮০
বা, ক+৪+৫ক+৪=৮০
বা, ৬ক+৮=৮০
বা, ৬ক= ৮০-৮
বা, ৬ক= ৭২
বা, ক= ৭২÷৬
বা, ক= ১২
ক= ১২
পিতার বর্তমান বয়স= (৫ক+৪) বছর=(৫×১২+৪)বছর=
(৬০+৪) বছর= ৬৪ বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= (ক+৪) বছর= (১২+৪) বছর=
১৬ বছর।
নির্ণেয় তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত= ৬৪ : ১৬
উত্তর: তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৬৪ : ১৬

12) পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১১: ৪।
পুত্রের বয়স ১৬ বছর হলে, পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ক বছর।
প্রশ্নমতে,
ক : ১৬ = ১১ : ৪
বা, ক × ৪ = ১৬ × ১১
বা, ৪ক = ১৭৬
বা, ক = ১৭৬÷৪
বা, ক = ৪৪
ক = ৪৪
নির্ণেয় পিতার বয়স= ৪৪ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪৪ বছর।

13) পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১১: ৪। পিতার
বয়স ৪৪ বছর হলে, পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি
কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ১১ক বছর।
পুত্রের বয়স= ৪ক বছর।
প্রশ্নমতে,
১১ক = ৪৪
বা, ক = ৪৪÷১১
বা, ক = ৪
ক = ৪
পিতার বয়স= ১১ক বছর= (১১×৪) বছর= ৪৪ বছর।
পুত্রের বয়স= ৪ক বছর= (৪×৪) বছর= ১৬ বছর।
নির্ণেয় পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৪৪+১৬)
বছর= ৬০ বছর।
উত্তর: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর।

14) পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৭: ২।
পিতার বর্তমান বয়স ৪২ বছর, ১০ বছর পূর্বে
পুত্রের বয়স কত ছিল?
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে,
বা, ৭(পুত্রের বর্তমান বয়স) =৪২×২
বা, ৭(পুত্রের বর্তমান বয়স) =৮৪
বা, পুত্রের বর্তমান বয়স = ৮৪÷৭
বা, পুত্রের বর্তমান বয়স= ১২
পুত্রের বর্তমান বয়স= ১২ বছর।
নির্ণেয় ১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= (১২–১০)
বছর= ২ বছর।
উত্তর: ১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল ২ বছর।

15) পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬৩ বছর এবং
তাদের বয়সের অনুপাত ৭: ২। ৯ বছর পূর্বে
তাদের বয়সের অনুপাত কত ছিল?
সমাধানঃ

অনুপাতদ্বয়ের সমষ্টি= (৭+২) = ৯
পিতার বয়স= (৬৩ এর ৭/৯ ) = ৪৯ বছর।
পুত্রের বয়স= (৬৩ এর ২/৯) = ১৪ বছর।
৯ বছর পূর্বে পিতার বয়স= (৪৯ -৯) বছর= ৪০ বছর।
৯ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= (১৪ -৯) বছর= ৫
বছর।
৯ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত= ৪০ : ৫= ৮ :
১
উত্তর: পিতার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৮ : ১

16) পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭৪ বছর এবং
তাদের বয়সের অনুপাত ১০ বছর পূর্বে ছিল ৭: ২।
১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ক বছর।
পুত্রের বয়স= (৭৪-ক) বছর।
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল= (ক-১০) বছর।
১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল= (৭৪-ক-১০)
বছর।
প্রশ্নমতে,
(ক-১০) : (৭৪-ক-১০) = ৭ : ২
বা, ২(ক-১০) = ৭ ( ৬৪-ক)
বা, ২ক-২০ = ৪৪৮-৭ক
বা, ২ক+৭ক = ৪৪৮+২০
বা, ৯ক = ৪৬৮
বা, ক = ৪৬৮÷৯
বা, ক = ৫২
ক = ৫২
নির্ণেয় পিতার বয়স= ক বছর= ৫২ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= (৭৪-ক) বছর= (৭৪-৫২)
বছর= ২২ বছর।
১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত=
(৫২+১০) : (২২+১০)= ৬২ : ৩২ = ৩১ : ১৬
উত্তর: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৩১ : ১৬